圖3：101名正常人血清肌紅蛋白的頻數(shù)分布直方圖

根據(jù)表1的資料，以各組段紅細(xì)胞含量為橫坐標(biāo)，人數(shù)（頻數(shù)）為縱坐標(biāo)可繪制頻數(shù)分布直方圖，如圖1。圖2、圖3也是根據(jù)相應(yīng)的頻數(shù)分布表繪制而成，我們可以更為形象和直觀的發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的分布規(guī)律。

3、頻數(shù)表和頻數(shù)分布圖的用途——發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)分布規(guī)律

3．1 描述頻數(shù)分布的類型    頻數(shù)分布的類型可分為對(duì)稱分布和偏態(tài)分布兩種。若各組段的頻數(shù)以頻數(shù)最多組段為中心左右兩側(cè)大體對(duì)稱，則認(rèn)為該資料是對(duì)稱分布（表1及圖1）；反之，則認(rèn)為是偏態(tài)分布（圖2、圖3）。圖2頻數(shù)最多組段（21～）右側(cè)的組段數(shù)多于左側(cè)的組段數(shù)，頻數(shù)向右側(cè)拖尾，稱右偏態(tài)分布（skewed to the right distribution）也稱正偏態(tài)分布（positive skewness distribution）。圖3頻數(shù)最多組段（30～ ）左側(cè)的組段數(shù)多于右側(cè)的組段數(shù)，頻數(shù)向左側(cè)拖尾，稱左偏態(tài)分布（skewed to the left distribution），也稱負(fù)偏態(tài)分布（negative skewness distribution）。

3．2 描述頻數(shù)分布的特征     如在圖2中，我們可以發(fā)現(xiàn)主要的2點(diǎn)特征：①數(shù)據(jù)變異的范圍在0～45mmol／L之間；②有一定的規(guī)律，數(shù)據(jù)主要集中在20～30組段之間。數(shù)值較大的值多于數(shù)值較小的值，左右分布并不對(duì)稱。

3．3 頻數(shù)分布表可用發(fā)小一些異常值，如特別小的值或特別大的值。

3．4 頻數(shù)分布表可用于發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)分布規(guī)律，便于做進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析和處理

二、 計(jì)量資料的集中趨勢(shì)

（1）均數(shù)（算術(shù)均數(shù)、幾何均數(shù)）算數(shù)均數(shù)（mean）    均值是一個(gè)平均數(shù)，所以均值的計(jì)算方法是將一個(gè)分布中的所有取值加總起來(lái)除以取值的個(gè)數(shù)。如果一個(gè)分布中有10個(gè)取值，那么將所有取值加起來(lái)之后再除以10即可�？梢岳�用原始數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，也可以利用頻數(shù)分布表進(jìn)行計(jì)算，但是其中的原理都是一樣的，即計(jì)量資料中某一變量取值的總和除以個(gè)數(shù)。適用于資料符合正態(tài)分布的計(jì)量資料，公式可以表示如下：

幾何均數(shù)（geometric mean）    用于一組經(jīng)過(guò)對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換后成對(duì)稱分布的變量值在數(shù)量上的平均水平，在醫(yī)學(xué)上常見(jiàn)的是免疫學(xué)的指標(biāo)，其計(jì)算公式為：

例1，某地5例微絲蚴血癥患者治療7年后用間接受光抗體試驗(yàn)測(cè)得其抗體滴度倒數(shù)分別為10、20、40、40、16，求幾何均數(shù)。

故5份血清抗體效價(jià)的平均滴度為1：34．8。

對(duì)于頻數(shù)表資料，幾何均數(shù)的計(jì)算公式為：

（2） 中位數(shù)與百分位數(shù)中位數(shù)     中位數(shù)（median）是將n個(gè)變量值從小到大排列，位置居于中間的那個(gè)數(shù)。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)取位次居中的變量值，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)取位次居中的兩個(gè)變量值的均數(shù)。它適用于各種分布類型的資料，尤其是偏態(tài)分布資料和一端或兩端無(wú)確切數(shù)值的資料。其計(jì)算公式為：

例3：試計(jì)算表2某醫(yī)院1123名產(chǎn)后出血孕婦人工流產(chǎn)次數(shù)的中位數(shù)。對(duì)于離散型變量資料，因?yàn)閚＝ 1123，故中位數(shù)是從小到大排序后居于（n＋ 1）／2＝（1123＋ 1）／2＝ 562位的觀察值。據(jù)表2，排在第 1～402 位的觀察值均為“0”，其累計(jì)頻率為35．80％；排在403 ～732位的觀察值＂1”，其累計(jì)頻率為65．18％，余類推。第562位數(shù)屬于第二個(gè)變量值，即人流次數(shù)為“1”，故某醫(yī)院1123名產(chǎn)后出血孕婦人工流產(chǎn)次數(shù)的中位數(shù)為M＝X（562） ＝1 。

百分位數(shù)     百分位數(shù)（percentile），是一種位置指標(biāo)， 用Px來(lái)表示，讀作第x百分位數(shù)。一個(gè)百分位數(shù) Px將全部變量值分為兩部分，在Px處若無(wú)相同變量值，則在不包含Px的全部變量值中有x％的變量值小于它，（100－x％）變量值大于它。故百分位數(shù)是一個(gè)界值，其最重要用途是用來(lái)確定醫(yī)學(xué)參考值范圍（reference range），后面我們會(huì)談到。中位數(shù)實(shí)際上是第50百分位數(shù)，是百分位數(shù)中的一個(gè)特殊值。

例4：對(duì)某醫(yī)院細(xì)菌性痢疾治愈者的住院天數(shù)統(tǒng)計(jì)，119名患者的住院天數(shù)從小到大的排列如下，試求第5百分位數(shù)和第99百分位數(shù)�；颊撸�1 2 3 4 5 6 7 8…116 117 118 119住院天數(shù)：1 1 2 2 2 3 4 4 5…39 40 40 42（119＋1）x5％＝6，故P（5）＝X（6）＝3（天）（119＋1）x 99％＝118．8， 故P（99）在118位和119位之間，通過(guò)對(duì)應(yīng)的公式計(jì)算出為41．6（天），詳細(xì)的計(jì)算公式我就不列出來(lái)了，因?yàn)楝F(xiàn)在都不會(huì)手動(dòng)計(jì)算啦，我們掌握它的應(yīng)用和意義更為重要。故我們解讀一下這里涉及的P（5）和P（99）的意義：P（5）的意義是該醫(yī)院有5％的細(xì)菌性痢疾治愈者的住院天數(shù)少于3天，或者說(shuō)有95％的細(xì)菌性痢疾治愈者的住院天數(shù)多于3天。P（99）的意義是絕大多數(shù)（99％）細(xì)菌性痢疾治愈者的住院天數(shù)少于41．6天。

利用頻數(shù)分布表計(jì)算百分位數(shù)：例5： 某地118名鏈球菌咽喉炎患者的潛伏期頻數(shù)表見(jiàn)表3第（1）、（2）欄，求中位數(shù)及第25位、第75位百分位數(shù)。

中位數(shù)對(duì)應(yīng)的累計(jì)頻率是50％，對(duì)表中第（4）欄從上到下讀累計(jì)頻率，小于48天的累計(jì)頻率為44．9％，小于60天的累計(jì)頻率為65．3，故中位數(shù)所在組段為“48～”，n＝ 118（樣本總量），L50 ＝ 48（P50所在組段的下界），i50＝ 12（組間距），f50＝24（P50所在組段的樣本量）， L ＝53（P50前一組段的累積頻數(shù)），帶入計(jì)算公式得：M＝P50＝48＋12／24（118x50％－53）＝51（天）

同樣的計(jì)算原理，我們可以計(jì)算出P25和P75：P25＝36＋12／32（118x25％－21）＝39．2（天）P75＝ 60＋12／18（118x75％－77）＝67．7（天）

對(duì)于離散變量的頻數(shù)表資料，第X百分位數(shù)為Px所在變量值處的變量值，如對(duì)表2資料有P95＝3；若每個(gè)組有幾個(gè)變量值，則必須根據(jù)原始數(shù)據(jù)用直接法求Px。

眾數(shù)     眾數(shù)（mode）是使用最少的集中趨勢(shì)指標(biāo)，因?yàn)樗�提供的信息量最少。眾�?shù)只是指出分布中最常出現(xiàn)的取值，或者具有最高頻數(shù)的取值。

三、 計(jì)量資料的離散趨勢(shì)

離散（dispersion）趨勢(shì)指的是計(jì)量資料所有變量值偏離中心位置的程度，要全面刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)（變量值）的數(shù)量特征，除計(jì)算平均指標(biāo)外，還必須計(jì)算反映離散程度的指標(biāo)。描述離散程度的常用指標(biāo)有極差、四分位數(shù)間距、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)。

極差（Range）

如前所述，極差即一組變量值的最大值與最小值之差。極差計(jì)算簡(jiǎn)便，概念清晰，因而應(yīng)用比較廣泛，如說(shuō)明傳染病、食物中毒的最長(zhǎng)、最短潛伏期等．

例6：試計(jì)算下面三組同齡男孩的身高（cm）均數(shù)和極差。甲組：90 95 100 105 110   乙組：96 98 100 102 104   丙組：96 99 100 101 104  計(jì)算得出：

比較以上三組數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，雖然三組均數(shù)相等，但極差卻不盡相間，甲組5個(gè)兒童身高差異20 cm，乙組和丙組只有8 cm。我們可以很容易的得出結(jié)論，若僅比較三組的均數(shù)，而不比較個(gè)體差異的大小，不能全面反映三組兒童身高。

用極差來(lái)描述數(shù)據(jù)的變異程度并不全面。僅能反映最大值與最小值的差值，而不論其他數(shù)值的情況。

四分位數(shù)間距

四分位數(shù)（quartile）是把全部變量值分為四部分的分位數(shù)，即第1四分位數(shù)（QL＝P25）、第2四分位數(shù)（M＝P50）、第3四分位數(shù)（QU＝P75）。四分位數(shù)間距（quartile range）是由第3四分位數(shù)和第1四分位數(shù)相減而得，記為QR。它一般和中位數(shù)起描述偏態(tài)分布資料的分布特征。

方差與標(biāo)準(zhǔn)差

方差（variance）也稱均方差（mean square deviation），反映組數(shù)據(jù)的平均離散水平。離均差平方和除以N得到了方差，總體方差用σ2。常與均數(shù)一起描述正態(tài)分布資料的分布特征。其計(jì)算公式如下：

例7：續(xù)例6，試計(jì)算下面三組同齡男孩的身高（cm）標(biāo)準(zhǔn)差。甲組：90 95 100 105 110   乙組：96 98 100 102 104  丙組：96 99 100 101 104  帶入公式得：S甲＝7．9cm，S乙＝3．2cm，S丙＝2．9cm由于丙組的標(biāo)準(zhǔn)差較小，說(shuō)明組間變異程度較小，故可以認(rèn)為其均數(shù)的代表性較其他組要好。

變異系數(shù)

變異系數(shù)（Coefficient of variation）記為CV，多用于觀察指標(biāo)單位不同時(shí)，如身高與體重的變異程度的比較；或均數(shù)相差較大時(shí)，如兒童身高與成人身高變異程度的比較。其計(jì)算公式為：

例8：某地7歲男孩身高的均數(shù)為123．10 cm，標(biāo)準(zhǔn)差為4．71 cm；體重均數(shù)為22．92 kg，標(biāo)準(zhǔn)差為2．26kg。此處不能因?yàn)?．71＞2．26，就說(shuō)身高的變異比體重要大，而要考慮到兩者的單位不同，無(wú)法直接比較，故采用變異系數(shù)來(lái)解決這類問(wèn)題，它實(shí)質(zhì)上是一個(gè)相對(duì)變異指標(biāo)，無(wú)單位。上述7歲男孩身高、體重的變異系數(shù)分別為：

通過(guò)比較，說(shuō)明該地7歲男孩體重的變異大于身高的變異，或者說(shuō)身高比體重的變異小。

總結(jié)：在這一小節(jié)中，我們?cè)敿?xì)的談及了描述計(jì)量資料集中趨勢(shì)和離散趨勢(shì)的指標(biāo)。也談到了它們的應(yīng)用場(chǎng)所，總結(jié)起來(lái)就是“正態(tài)分布資料：均值±標(biāo)準(zhǔn)差；偏態(tài)分布資料：中位數(shù)，四分位數(shù)間距”，在以后的學(xué)習(xí)中，我們看到文獻(xiàn)中的圖表，看到其描述的方式，就應(yīng)該迅速在腦海里反映出其對(duì)應(yīng)的資料的分布情況；反之亦然，見(jiàn)到不同分布的資料，我們應(yīng)該知道用那些指標(biāo)對(duì)其進(jìn)行描述。

如上圖文獻(xiàn)［Prevalence and related factors of chronic kidney disease （CKD） among long－lived individuals （LLI） over 95 years of age］中的表1，我們可以看到連續(xù)型變量使用（均數(shù)±標(biāo)準(zhǔn)差）的形式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)描述；而分類變量使用的是構(gòu)成比的形式進(jìn)行描述。因?yàn)樵趯?shí)際工作和生活中，偏態(tài)分布的例子極少，而作者研究中僅用連續(xù)變量和分類變量區(qū)分變量類型，故未展示（中位數(shù)，四分位間距）這一表現(xiàn)形式。

參考資料：

1．人民衛(wèi)生出版社《醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)》第4版  孫振球 徐勇勇 著2．中國(guó)人民大學(xué)出版社《白話統(tǒng)計(jì)學(xué)》第3版   蒂莫西．C．厄丹（Timothy C．Urdan）著，彭志文譯3．Zujun et al．，2015，Prevalence and related factors of chronic kidney disease （CKD） among long－lived individuals （LLI） over 95 years of age，Archives of Gerontology and Getratrics，Volume 60，Issue2，March–April 2015， Pages 354－358